Matemáticas (I): Las bases de la cognición matemática

By Juan Carlos López - 22:20


Los números están presentes en cualquier cosa de la vida cotidiana. Todo está numerado, clasificado, ordenado en el tiempo, cuantificado, valorado, medido, jerarquizado, como un lenguaje especial que nos ayuda a ordenar y dar estabilidad a la realidad que nos rodea. Es usada para ampliar y crear más utilidades de materiales y técnicas que nos hagan la vida más avanzada, estando incluso presente en cualquiera de nuestros entretenimientos y creaciones (deportes, juegos de mesa, arte,…). Tal es nuestra naturaleza matemática, que queremos usar el cálculo hasta para las cosas más abstractas como el amor, la belleza, la creatividad o la inteligencia; o para las que no somos capaces de ver directamente, como el espacio exterior, el abismo de los océanos y las capas profundas de la tierra, o hacer predicciones del futuro.

La Psicología lleva estudiando muchos años los procesos cognitivos que están detrás de la capacidad que tenemos los humanos (y los animales) para el uso de símbolos y conceptos matemáticos. Es la llamada cognición matemática. Autores como Edward Thorndike, Stanley Stevens, Jerome Bruner, Zoltan Dienes, Lev Vigotsky, Alexander Luria, Jean Piaget o Richard Skemp y, más recientes como Michael McCloskey, Rochel Gelman, David Geary, Brian Butterworth o Stanislas Dehaene, por citar algunos de los más destacados, han sido los que han realizado los mayores avances en el conocimiento de la cognición matemática, área que ha experimentado un crecimiento exponencial desde los años setenta, convirtiéndose más recientemente en un área de conocimiento multidisciplinar.


LAS MATEMÁTICAS NO SIMBÓLICAS

Hacen referencia a la capacidad que utilizamos en nuestra vida diaria para hacer estimaciones sobre cantidades, o comparaciones entre grupos de objetos, sin utilizar el lenguaje, realizar un conteo o hacer uso de símbolos numéricos.


El sentido numérico o numerosidad

El sentido numérico es una adquisición del reino animal muy anterior al ser humano, y está presente en un gran abanico de seres vivos de diversas especies, como los simios, delfines, aves, roedores, felinos y muchas más. La supervivencia de ellos depende en buena parte de su sentido numérico, en situaciones que pueden ir desde la cantidad de crías a alimentar, la cantidad de alimentos a conseguir, el número de depredadores a los que poder enfrentarse, estimar las distancias a la que se encuentran las presas o estimar y comparar el tamaño de un rival al que enfrentarse para ser el macho dominante de la manada. El sentido numérico es ancestral, anterior al lenguaje o la lectoescritura. Esta capacidad básica e innata, denominada numerosidad o sentido numérico, permite percibir o estimar el número de objetos que componen un grupo de forma aproximada y distinguir entre mucho o poco (Butterworth, 1999). Es la denominada numerosidad no simbólica, es decir, aquella que no usa símbolos inventados por el ser humano. (El término numerosidad fue acuñado y desarrollado por el psicólogo Stanley Smith Stevens en 1938).

En el ser humano, los bebés también tienen esa capacidad innata de numerosidad o sentido numérico, que va desarrollándose, dando lugar a otras habilidades más sofisticadas de cálculo. El buen funcionamiento del sentido numérico implica que (Serra, 2013):

  • Se entiende el principio de correspondencia uno a uno. 
  • Se entiende que los conjuntos de elementos tienen propiedades numéricas, de manera que variando estos conjuntos, estas propiedades se modifican (los conjuntos crecen, disminuyen o se equiparan). 
  • Los conjuntos de elementos no tienen que ser visibles, sino que pueden hacer referencia a elementos auditivos, sensitivos, abstractos, como las ideas y los deseos. 
  • Se pueden identificar pequeñas cantidades sin necesidad de emplear el código verbal (hasta cuatro elementos).
El sentido numérico tiene sus límites, pudiendo hacer estimaciones precisas de pequeñas cantidades, estimándose en cuatro elementos la capacidad del sistema de estimación. El sentido de numerosidad no sólo estima a simple vista si dos conjuntos son iguales, o uno mayor que otro, sino que también permite la habilidad de percibir que el grupo aumenta o disminuye si se le ponen o quitan elementos (¿y si una hembra pierde una de sus crías en un desplazamiento de un lugar a otro?). 

El desarrollo del sentido numérico pasa por diferentes períodos (Dehaene, 1997): 

  • Desarrollo del sentido numérico general (sistema central de magnitud): es una habilidad innata que consiste en diferenciar entre uno y múltiples elementos. 
  • Desarrollo del sistema numérico verbal: habilidad de asociar una cantidad a una palabra concreta. Se desarrolla entre los 2 y los 6 años. 
  • Desarrollo del sistema numérico arábigohabilidad de asociar cantidades a una cifra concreta. 
  • Desarrollo de la representación de una secuenciación numérica, también denominada línea numérica mental: habilidad de representar secuencialmente una línea numérica imaginaria, lo cual facilita el cálculo aproximado. 

Dificultades en el sentido numérico pueden conllevar dificultades en el aprendizaje matemático como las siguientes (Artigas-Pallarés, 2011): 

  • Escasa habilidad para contar de modo inteligible para el propio sujeto. 
  • Dificultad en las operaciones básicas (adición, sustracción, multiplicación y división). 
  • Dificultad para el cálculo mental. 
  • Necesidad de usar los dedos para contar. 
  • Dificultad en la adquisición de automatismos para contar. 
  • Dificultad para estimar cálculos aproximados. 
  • Dificultad con las secuencias (se pierden al contar, al aprender las tablas de multiplicar, etc.). 
  • Lentitud en la realización de tareas matemáticas. 
  • Precisan más tiempo y esfuerzo para hacer los deberes de matemáticas y con resultados no muy positivos. 
Los investigadores han propuesto un sistema exacto para la percepción de pequeños grupos de estímulos (visuales, auditivos,...), denominado subitizing; y un sistema aproximado que estima grandes grupos de estímulos, con el que realizar comparaciones y estimaciones, denominado sistema numérico aproximado, el cual es impreciso, pudiendo realizar sobreestimaciones o subestimaciones.

Subitizing

El término subitizing fue acuñado en Psicología en 1949 (Kaufmann et al., 1949). Viene de la palabra latina subitus, que significa "de repente", o repentino. Consiste en saber de forma repentina o inmediata la cantidad de un grupo de objetos que percibimos sin necesidad de contarlos. La capacidad de subitizar está limitada a un rango máximo de cuatro o cinco, pudiendo superarlo siempre que sigan un patrón conocido (por ejemplo, el cinco y el seis dispuestos como en los dados). El subitizing no se limita a los estímulos visuales, sino que también se da con estímulos auditivos y táctiles. Parece que se desarrolla con anterioridad al conteo verbal. El desarrollo de la subitización va desde reconocimiento de uno o dos estímulos con 12 meses, los 3 ítems a los 5 años, hasta los 4 ítems en los adultos. Existen diferencias individuales en la capacidad de subitizar, encontrándose correlaciones entre la capacidad de subitizar entre los 4 y 6 años y el desarrollo de la habilidad de contar. Por contra, no se ha encontrado relación entre la velocidad de subitización a los 6 y 7 años y el desarrollo de la línea numérica o la comparación de símbolos numéricos. Se han encontrado dificultades en subitizar en niños con discalculia. Aunque hay autores que consideran el subitizing una forma de conteo, se han encontrado evidencias de activación en área cerebrales distintas a la hora de subitizar (córtex occipital posterior) en relación al conteo (córtex parietal). Además, actualmente, existen evidencias de que subitizar y contar son dos procesos diferentes. También se ha argumentado que se trata de una habilidad de cognición visoespacial; pero se ha encontrado pacientes con déficits visoespaciales que conservan la capacidad de subitizar. El subitizing está limitado a la capacidad de span atencional y de memoria de trabajo (agenda visoespacial). Los estímulos que se presentan agrupados son subitizados de forma más precisa (groupitizing), así como formando patrones conocidos (línea, triángulo, cuadrado).

Sistema numérico aproximado (ANS, Aproximate Number System)

Para cantidades superiores a las posibles de subitizar necesitamos contar. Sin embargo, disponemos de una capacidad de estimación aproximada de cantidades mayores, por ejemplo, para estimar cantidades de 9-10 ítems, o cantidades mucho mayores como los asistentes a un concierto, manifestación, etc. Tendemos a sobreestimar las cantidades pequeñas y a subestimar las cantidades grandes. La estimación es un proceso de mapeo entre la numerosidad exacta y la aproximada, dando una etiqueta a la cantidad de elementos percibidos sin contarlos, lo cual es impreciso. Las estimaciones dependen de factores como la densidad, la regularidad del espacio en la que se distribuyen los elementos y la luminosidad, realizando estimaciones mayores con menor densidad, espacios regulares y menor luminosidad. Los humanos, incluidos los niños preverbales, y algunos animales, como peces, pájaros y primates, poseemos un sistema numérico aproximado. Se han encontrado áreas cerebrales relacionadas con la numerosidad de grandes elementos, como el surco intraparietal lateral y ventral. Existen diferencias individuales, así como a lo largo del desarrollo, habiéndose observado un gran aumento de precisión entre los 11 y 16 años, así como un decrecimiento lento desde los 30 a los 85 años. No existen diferencias significativas entre adultos jóvenes entre 18 y 25 años, y adultos mayores entre 60 y 77 años. Se han encontrado altas correlaciones entre la precisión del ANS con el rendimiento en tareas matemáticas simbólicas. Al igual que el ANS parece ser básico en la habilidad matemática posterior, también se da una relación inversa, en el sentido de que la educación y experiencia matemática incrementa la precisión del ANS. Además, se ha encontrado que el entrenamiento del ANS mejora el rendimiento en matemáticas simbólicas, aunque hay controversias al respecto. Un fenómeno curioso es que tendemos a asociar el espacio izquierdo a números pequeños y el espacio derecho a números grandes, ocurriendo al contrario en población árabe (en la que leen y escriben de derecha a izquierda). Sin embargo, en niños que aún no han sido alfabetizados se da la tendencia de izquierda a derecha.

LAS MATEMÁTICAS SIMBÓLICAS 

Como su nombre indica, se refiere a aquellas actividades matemáticas que operan mediante símbolos numéricos, una invención humana que utilizamos para hacer representaciones abstractas de cantidades exactas. Los símbolos numéricos podemos encontrarlos básicamente de dos formas: como palabras numéricas, que hacen referencia a cantidades o conceptos matemáticos; y los números arábigos y otros símbolos matemáticos, que también hacen referencia a cantidades o conceptos matemáticos. Existen otros símbolos de representación que hemos usado los humanos a lo largo de la historia como, por ejemplo, los números romanos. Las palabras numéricas se adquieren de manera más temprana que los símbolos numéricos arábigos, que se van adquiriendo a lo largo de la vida mediante la educación. El entendimiento de los símbolos numéricos en la primera infancia es un predictor robusto de los logros matemáticos posteriores. 

Los números 

Durante la infancia temprana y el desarrollo del lenguaje, los niños van adquiriendo concepto básicos que luego supondrán los cimientos a partir de los cuales aumentarán progresivamente su vocabulario y adquirirán las bases para el aprendizaje matemático. Conceptos espaciales como dentro-fuera, cerca-lejos, delante-detrás,...; o cuantitativos, como mucho-poco, más-menos, grande-pequeño, primero-último, lleno-vacío, son fundamentales para el aprendizaje matemático inicial.

Los niños, desde muy pequeños, al igual que en el lenguaje deben establecer la relación entre el sonido de una palabra y su significado, en el lenguaje numérico deben realizar la misma operación, a la que se le añade una complejidad, el símbolo arábigo. Deben aprender la correspondencia entre las palabras numéricas (orales y escritas), los números arábigos y las magnitudes que representan. Y al igual que deben adquirir la correspondencia entre un fonema o sonido de una letra, sílaba y palabra, y un grafema o símbolo escrito; deben establecer la relación entre el sonido de una palabra numérica, el grafema de la palabra numérica escrita y el número arábigo (esta operación de pasar de un código sonoro, a escrito o arábigo se llama transcodificación). Una cosa que hacemos de manera casi natural supone toda un desafío de gran complejidad en los primeros años de vida, de ahí la importancia decisiva de la Educación Infantil.
 
Un niño de dos años puede ser capaz de recitar los números, incluso hasta diez; pero no está del todo claro que pueda tener un entendimiento del significado de esas palabras numéricas. Los niños adquieren el significado de la palabra "uno" en torno al último curso del primer ciclo de Educación Infantil (2 años).

El entendimiento de los dígitos o números arábigos también tienen su complejidad. La adquisición del significado de los números arábigos es muy poco posterior a la adquisición del significado de las palabras numéricas. Los números juegan un papel importante en el desarrollo temprano de la competencia matemática. Los niños tendrán que pasar de los dígitos simples, a los números con más de un dígito, teniendo que comprender las unidades, decenas, centenas,..., así como adquirir el significado de la posición de los números, el cero, los decimales, los números negativos, etc.

La línea numérica

La línea numérica es una representación de los números en una línea. En ella, los números van avanzando de izquierda a derecha de menor a mayor, reflejándose la magnitud de los números, así como su orden. Por tanto, es útil para que los niños, ya sea a nivel gráfico en un papel o pizarra, ya sea en su imaginación, entiendan el sentido ordinal de los números, la magnitud que representan, así como estimar comparaciones entre números. En el entendimiento de la línea numérica entran en juego las capacidades espaciales de los niños. Entender la línea numérica va aparejada con la habilidad de contar, tanto hacia delante como hacia atrás.


El conteo

La psicóloga cognitiva Rochel Gelman y su marido, el psicólogo especialista en psicología fisiológica Charles Gallisted, en 1978, propusieron una serie de principios o prerrequisitos para el entendimiento del conteo:

  • Principio de correspondencia uno a uno: cada objeto sólo puede ser contado una vez, cada palabra numérica debe ser emparejada con un sólo objeto. Todos los objetos contados deben quedar emparejados con una palabra numérica.
  • Principio de orden: las palabras numéricas deben ser recitadas en un orden concreto.
  • Principio de abstracción: se puede contar cualquier conjunto de objetos (perros, personas, acciones, pensamientos,...).
  • Principio de irrelevancia del orden: el orden en el cual se cuentan los objetos es irrelevante, ya que da el mismo resultado.
  • Principio de cardinalidad: El último número en la secuencia del conteo también describe cuántos objetos hay. Por tanto, no sólo describe el orden del conteo, sino también la cantidad total.

Hay investigadores como la propia Rochel Gelman, o Brian Butterworth, que consideran la adquisición de los principios del conteo como algo innato, mientras otros como Stanislas Dehaene, que argumentan que la adquisición de la correspondencia entre la posición en la línea numérica y la representación de la magnitud inician la adquisición de los principios del conteo. La correspondencia uno a uno se desarrolla en torno a los dos años, en paralelo a la adquisición del sistema numérico verbal. En esta etapa inicial, las palabras que representan los números son vistos como meras etiquetas, sin una asociación con el conjunto final de objetos. Más adelante, sobre los 3 años y medio, los niños son capaces de contar hasta 3, con correspondencia de “uno a uno”, en voz alta o interiormente. Pueden llegar a responder cuántos objetos hay en total utilizando el conteo.
 
En la habilidad de contar en voz alta y en las estrategias para contar intervienen el desarrollo del lenguaje y la lectoescritura. Por tanto, una alteración en el desarrollo del lenguaje y de la lectoescritura puede provocar un retraso en la adquisición de la habilidad de contar y en el almacenaje de hechos numéricos y aritméticos (Serra, 2013).

La habilidad para contar está en la base del desarrollo de las operaciones aritméticas elementales: sumar, restar, multiplicar y dividir.

La magnitud

La importancia de la magnitud de los números es determinante en la realización de tareas aritméticas, especialmente en las de cálculo aproximado. Cuando se comparan dos números entre sí, a igual distancia entre ellos, existe mayor dificultad conforme se incrementan sus valores. Es más fácil comparar la distancia entre 4 y 2, que entre 6 y 4. Cuanto menor es la distancia entre dos números, más tiempo se emplea en compararlos. Se tarda más en compara 5 y 6, que 8 y 2.

En todas estas operaciones, la magnitud de los números representados es un aspecto de gran importancia, ya que la manipulación de números grandes afecta a la dificultad del proceso.


La aritmética


La realización de la suma lleva implícito el hecho de entender que hay que unir dos conjuntos de elementos y contar el total de estos. Esto puede conseguirse a través de diferentes estrategias:

Se cuentan los elementos del primer conjunto, y se continua contando con los del segundo conjunto. Por ejemplo, 3+4, se cuenta un, dos tres, y se continua con el segundo conjunto cuatro, cinco, seis y siete. Otra forma es que, pariendo de la cifra del primer conjunto (3), se sigue contando los elementos del segundo conjunto. Una tercera estrategia, más sencilla y con menor riesgo a equivocarse, es partir del conjunto mayor (4), y seguir contando los elementos del conjunto menor. Una estrategias más es saberse de memoria las sumas de pequeñas cantidades, de tal forma que no sea necesario contar. Te las aprendes como si se tratasen de unas tablas hasta automatizarlas (numbers facts retrieval o recuperación de hechos numéricos). El aprendizaje de la resta puede basarse en estrategias similares, aunque resulte algo más complejo para los niños.

Los hechos matemáticos (numbers facts) son operaciones aritméticas que llegan a automatizarse debido a su uso frecuente, sin necesidad de realizar la operación con alguna de las estrategias que hemos mencionado. Suelen utilizarse más con números de un dígito en las operaciones aritméticas básicas; pero pueden ir sofisticándose conforme se dominan operaciones más complejas con números de más de un dígito (existen auténticas figuras mundiales en la realización de cálculos de números de muchos dígitos a una gran velocidad). Su adquisición y la capacidad para recuperarlos de la memoria a largo plazo cuando se necesitan utilizar facilita la velocidad y precisión a la hora de realizar razonamientos lógico-matemáticos, cálculos más complejos, cálculo mental, comprensión de problemas matemáticos, etc. Dificultades en la automatización y recuperación de los hechos matemáticos (numbers facts retrieval) suponen un obstáculo en el rendimiento matemático. Es un fenómeno similar a la automatización de la lectura o cualquier aprendizaje procedimental que sea requerido como paso previo para tareas más complejas. Además, en caso de no adquirirse, suponen un obstáculo y una sobrecarga cognitiva para funciones como la atención, la velocidad de procesamiento, la memoria de trabajo, la inhibición, la monitorización, la percepción, la cognición espacial, etc. Las dificultades con los hechos matemáticos pueden ser generadoras de ansiedad matemática. Se puede deducir, por tanto, que es un aspecto ineludible de analizar en la evaluación de las dificultades de aprendizaje matemático.

Respecto a la multiplicación y la división, han de introducirse más tarde, explicándose bajo la base de que sumas o restas repetidas pueden representarse más fácilmente con estas operaciones. La división da lugar a otros conceptos matemáticos como las fracciones y los porcentajes.

Otras áreas de estudio

Posteriormente, y en paralelo a hacer más complejas las operaciones aritméticas, se van introduciendo conceptos de magnitud, sistemas de medida, geometría, proporcionalidad, estadística, probabilidad, álgebra, trigonometría, etc. También se van introduciendo los problemas matemáticos, que es una de las áreas de investigación incipientes en la actualidad.

Como vemos, partiendo del sentido numérico original, fruto de la escolarización se va sofisticando el aprendizaje del cálculo y, con ello, formando los complejos circuitos neurocognitivos y las estrategias cognitivas para su aplicación.

En el estudio de la cognición matemática, no sólo hay que analizar los procesos específicos relacionados con las matemáticas, como los que hemos visto, sino que también hay que tener presentes las capacidades o dominios cognitivos generales, como son: lenguaje, atención, velocidad de procesamiento, memoria de trabajo, cognición espacial, inhibición, flexibilidad cognitiva, planificación, razonamiento, etc; algunos de los cuales han recibido una mayor atención que otros por parte de los investigadores de la cognición matemática.


Modelos de procesamiento numérico


A lo largo de los últimos años, se han propuestos diferentes modelos para explicar el procesamiento numérico, destacando dos por encima de todos ellos: el modelo de McCloskey et al. (1985), y el modelo de triple código de procesamiento de Dehaene et al. (2003).

McCloskey et al. (1985), distinguen tres componentes: el sistema de procesamiento numérico, el sistema de cálculo y el sistema de representaciones semánticas. Las alteraciones en uno u otro sistema se manifiestas de manera diferente. Así, las características de cada sistema serían:

  • Sistema de procesamiento numérico: compuesto por un subsistema de entrada (input), en que se distingue el código arábigo (7), y el verbal (siete) en sus modalidades fonológica y escrita. Por otro lado, un subsistema de salida (output) o de producción, subdividido de igual forma que el de entrada.
  • Sistema de cálculo: formado por un subsistema de cálculo mental y un subsistema de cálculo escrito. Ambos subsistemas incluyen la capacidad para comprender los signos matemáticos, el acceso a los datos aritméticos básicos (tablas de multiplicar, sumas elementales), y el dominio de algoritmos esenciales para la resolución de las operaciones básicas (ej: sumas o restas con llevadas).
  • Sistema de representaciones semánticas: que codifica la información de magnitudes y actúa de intermediario en la transcodificación o traducción de un código de entrada (input) a uno de salida (output) diferentes. También actúa de intermediario en la resolución de operaciones aritméticas.

Por su parte, el modelo del triple código (Dehaene et al., 2003), afirma que el procesamiento aritmético depende de tres sistemas con funciones diferentes, organizados en módulos: el módulo verbal, el visual y el de magnitud. Las operaciones que son relativamente simples, que dependen del lenguaje, son procesadas por el sistema verbal (hemisferio izquierdo), mientras que las tareas más complejas, que requieren la estimación de magnitudes y la representación visual se encuentran localizadas en los dos hemisferios, implicando los sistemas visual y de magnitud. En una entrada posterior volvemos a hacer referencia a este modelo.

Los estudios realizados confirman parcialmente ambos modelos. En términos de la representación del significado numérico, hace falta una línea mental analógica, como se propone el modelo del triple código. Con relación  la representación de los procedimientos específicos de cálculo (suma, resta, multiplicación y división), el modelo de McClosky et al., predice que cada uno de ellos puede estar afectado selectivamente por una lesión, hecho que apoyan los datos empíricamente. En cuanto a la controversia acerca de la transcodificación de formas arábigas a verbales, existen datos a favor de la existencia de una vía semántica y de otra asemántica.

Como vemos en esta entrada introductoria, la Psicología lleva una larguísima y amplia trayectoria en el estudio de la cognición matemática, que tuvo un enorme acelerón desde los años 70. En los últimos años, se han ido añadiendo otras áreas de conocimiento; pero sin duda la Psicología sigue teniendo el papel de protagonista principal en su estudio, como así lo atestiguan los principales grupos de investigación y las publicaciones referentes en la materia.



Para saber más y mejor:

  • Artigas Pallarés, J. (2011). Discalculia. En J. Artigas-Pallarés y J. Narbona (Coords.) Trastornos del neurodesarrollo. Barcelona: Viguera.
  • Butterworth, B. (2019). Dyscalculia. Form Science to Education. Avingdon: Routeledge.
  • Butterworth, B (1999). What counts. How every brain is hardwired for math. New York: The Free Press.
  • Butterworth, B. (1999). The mathematical brain. London: MacMillan.
  • Dehaene, S. (1997). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. New York: Oxford University Press.
  • Dehaene, S.; Piazza, M.; Pinel, P.; Cohen, L. (2003). Three parietal circuits for number processing. Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506.
  • Deloche, G. y Seron, X. (2019). Mathematical Dissabilities. A cognitive neuropsychological perspective. Abingdon: Routeledge.
  • Feifer, S. (2017). The neuropsychology of Mathematics. Middletown: School Neuropsych Press.
  • Gallistel, C.R. y Gelman, R. (2005). Mathematical cognition. En K. Holyoak y R. Morrison (Eds.) The Cambridge handbook of thinking and reasoning. Cambridge University Press (pp 559-588). [enlace]
  • Gillmore, C.; Göbel, S. M. y Inglis, M. (2018). An introduction to mathematical cognition. Abingdon: Routeledge.
  • Kaufman, E. L., Lord, M. W., Reese, T. W., & Volkmann, J. (1949). The discrimination of visual number. The American Journal of Psychology, 62, 498–525
  • McCloskey, M.; Caramazza, A.; Basil, A. (1985). Cognitive mechanisms in number processing and calculation: evidence from dyscalculia. Brain and Cognition, 4, 171-196.
  • Serra, J.M. (2013). Representación numérica. En D. Redolar (coord.) Neurociencia cognitiva. Madrid: Editorial Médica Panamericana.
  • Skemp, R. (1980). Psicología del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: Ediciones Morata.
  • Stevens, S. S. (1946). On the theory os scale of measurement. Science, 103, 2684, 677-680.
  • Stevens, S. S. (1938). On the problem of scale for the measurement of psychological magnitudes. Journal of Unified Sciences, 9. 94-99.

  • Share:

You Might Also Like

0 comments